Operasi Perhitungan Pada Sistem Bilangan

Pada postingan kali ini akan membahas tentang operasi perhitungan yang terdiri dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dari sistem bilangan biner, oktal, dan heksadesimal.

 

Operasi Penjumlahan

1. Penjumlahan sistem bilangan biner

Aturan dasar dari penjumlahan biner adalah sebagai berikut:
  0 + 0 = 0
  0 + 1 = 1
  1 + 0 = 1
  1 + 1 = 10
Dengan aturan tersebut, kita dapat menjumlahkan bilangan biner seperti penjumlahan bilangan desimal (dilakukan dari kanan ke kiri). Lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini.

Contoh:

① Berapakah 11010,12 + 10111,02     111     11010,1     10111,0 +   110001,1 ∴ 11010,12 + 10111,02 = 110001,12

② Berapakah 1011,11012 + 11011,111012     1  111 1       1011,1101     11011,11101 +   100111,10111 ∴ 11010,12 + 10111,02 = 100111,101112

2. Penjumlahan sistem bilangan oktal
Aturan dasar dari penjumlahan biner adalah sebagai berikut:
  0 + 0 = 0              0 + 5 = 5              1 + 3 = 4              3 + 5 = 10
  0 + 1 = 1              0 + 6 = 6              1 + 5 = 6              4 + 5 = 11
  0 + 2 = 2              0 + 7 = 7              1 + 7 = 10            4 + 6 = 12 
  0 + 3 = 3              1 + 1 = 2              2 + 6 = 10            Dst…
  0 + 4 = 4              1 + 2 = 3              2 + 7 = 11             
Dengan dasar ini, penjumlahan oktal sama halnya dengan penjumlahan bilangan desimal. Lebih jelasnya depat dilihat pada beberapa contoh berikut ini.
Contoh:

① Berapakah 1258 + 468       1     125       46 +     173 ∴ 1258 + 468 = 1738

② Berapakah 4248 + 25678               111                 424               2567 +               3213 ∴ 4248 + 25678 = 32138

3. Penjumlahan sistem bilangan heksadesimal
Operasi penjumlahan heksadesimal sama halnya seperti penjumlahan pada desimal. Lebih jelasnya depat dilihat pada beberapa contoh berikut ini.
Contoh:

① Berapakah 2B516 + 7CA16              1           2B5            7CA +            A7F ∴ 2B516 + 7CA16 = A7F16

② Berapakah 658A16 + 7E616                  11               658A                  7E6 +                6D60 ∴ 658A16 + 7E616 = 6D6016

Operasi Pengurangan

1. Pengurangan sistem bilangan biner

Pengurangan pada sistem bilangan biner diterapkan dengan cara pengurangan komplemen 1 dan pengurangan komplemen 2 dimana cara inilah yang digunakan oleh komputer digital.
a. Pengurangan biner menggunakan komplemen 1

Bilangan biner yang akan dikurangi dibuat tetap dan bilangan biner sebagai pengurangnya diubah ke bentuk komplemen 1, kemudian dijumlahkan. Jika dari penjumlahan tersebut ada bawaan putaran ujung (end-around carry), maka bawaan tersebut ditambahkan untuk mendapatkan hasil akhir. Lebih jelasnya dapat dilihat seperti contoh di bawah ini.
Contoh:

① Berapakah 1011₂ – 0111₂
    1011     → Bilangan biner yang dikurangi
    1000 +  → Komplemen 1 dari bilangan pengurangnya (0111₂)
  10011
  ↳ end-around carry
    0011     → Hasil penjumlahan tanpa end-around carry
          1 +  → end-around carry dari hasil penjumlahan
    0100
  
∴ 1011₂ – 0111₂ = 0100₂
 
② Berapakah 11110₂ – 10001₂
    11110     → Bilangan biner yang dikurangi
    01110 +  → Komplemen 1 dari 10001₂
   101100
  ↳ end-around carry
    01100     → Hasil penjumlahan tanpa end-around carry
            1 +  → end-around carry dari hasil penjumlahan
    01101 

∴ 11110₂ – 10001₂ = 01101₂

Jika dari penjumlahan tersebut tidak terdapat bawaan putaran ujung, maka hasil penjumlahan bilangan yang dikurangi dengan komplemen 1 bilangan pengurangnya adalah bilangan negatif dimana hasil akhirnya negatif dari hasil komplemen 1 penjumlahan tadi. Lebih jelasnya dapat dilihat beberapa contoh di bawah ini.
Contoh:

① Berapakah 01110₂ – 11110₂
    01110     → Bilangan biner yang dikurangi
    00001 +  → Komplemen 1 dari 11110₂
    01111
karena tidak ada end-around carry,
maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 1 dari 01111₂)

∴ 01110₂ – 11110₂ = – 10000₂
② Berapakah 01011₂ – 10001₂
    01011     → Bilangan biner yang dikurangi
    01110 +  → Komplemen 1 dari 10001₂
    11001     
karena tidak ada end-around carry,
maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 1 dari 11001₂)

∴ 01011₂ – 10001₂ = – 00110₂
b. Pengurangan biner menggunakan komplemen 2
Bilangan biner yang dikurangi tetap kemudian bilangan biner sebagai pengurangnya di komplemen 2, lalu dijumlahkan. Jika hasilnya ada bawaan (carry), maka hasil akhir adalah hasil penjumlahan tersebut tanpa carry (diabaikan). Lebih jelasnya dapat dilihat beberapa contoh di bawah ini.
Contoh:
① Berapakah 1100₂ – 0011₂
    1100     → Bilangan biner yang dikurangi
    1101 +  → Komplemen 2 dari 0011₂
  11001     → Carry diabaikan

∴ 1100₂ – 0011₂ = 1001₂
② Berapakah 110000₂ – 011110₂
    110000     → Bilangan biner yang dikurangi
    100001 +  → Komplemen 2 dari 011110₂
  1010001     → Carry diabaikan

∴ 110000₂ – 011110₂ = 010001₂

Sekarang bagaimana kalau hasil penjumlahan dari bilangan yang dikurangi dengan komplemen 2 bilangan pengurangnya tanpa bawaan? Untuk menjawab ini, maka caranya sama seperti pengurangan komplemen 1, dimana hasil akhirnya negatif dan hasil penjumlahan tersebut di komplemen 2 merupakan hasil akhirnya. Lebih jelasnya dapat dilihat seperti contoh di bawah ini.
Contoh:

① Berapakah 01111₂ – 10011₂
    01111     → Bilangan biner yang dikurangi
    01101 +  → Komplemen 2 dari 10011₂
    11100
Karena tidak ada carry,
maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 2 dari 11100₂)

∴ 01111₂ – 10011₂ = – 00100₂
② Berapakah 10011₂ – 11001₂
    10011     → Bilangan biner yang dikurangi
    00111 +  → Komplemen 2 dari 11001₂
    11010
Karena tidak ada carry,
maka hasilnya adalah bilangan negatif (komplemen 2 dari 11010₂)

∴ 10011₂ – 11001₂ = – 00110₂
2. Pengurangan sistem bilangan oktal dan heksadesimal

Untuk pengurangan bilangan oktal dan heksadesimal, polanya sama dengan pengurangan bilangan desimal. Untuk lebih jelasnya lihat contoh di bawah ini.
Contoh untuk bilangan oktal:

① Berapakah 1258 – 678          78      → borrow        125          67  –          36 ∴ 1258 – 678 = 368

② Berapakah 13218 – 6578           778 → borrow          1321            657  –            442 ∴ 13218 – 6578 = 4428

Contoh untuk bilangan heksadesimal:

① Berapakah 125616 – 47916        FF10 → borrow         1256           479  –         DDD ∴ 125616 – 47916 = DDD16

② Berapakah 324216 – 198716       FF10 → borrow         3242         1987  –        18CA ∴ 324216 – 198716 = 18CA16

Operasi Perkalian

1. Perkalian sistem bilangan biner

Perkalian biner dapat juga dilakukan seperti perkalian desimal, bahkan jauh lebih mudah karena pada perkalian biner hanya berlaku empat hal, yaitu :
  0 × 0 = 0
  0 × 1 = 0
  1 × 0 = 0
  1 × 1 = 1
Untuk lebih jelasnya dapat dilihat seperti beberapa contoh di bawah ini.
Contoh:

① Berapakah 10112 × 10012          1011    → Multiplikan (MD)          1001 × → Multiplikator (MR)          1011              0000      1011    1011      +   1100011 ∴ 10112 × 10012 = 11000112

② Berapakah 101102 × 1012         10110    → Multiplikan (MD)             101 × → Multiplikator (MR)         10110             00000     10110    +     1101110 ∴ 101102 × 1012 = 11011102

2. Perkalian sistem bilangan oktal dan heksadesimal

Untuk perkalian bilangan oktal dan heksadesimal, lebih jelasnya dapat diperhatikan caranya seperti beberapa contoh berikut ini.

Contoh untuk bilangan oktal:
① Berapakah 258 × 148       25       14 ×     124     25  +     374 ∴ 258 × 148 = 3748	② Berapakah 4538 × 658       453         65 ×     2727   3402 +   36747 ∴ 4538 × 658 = 367478
Contoh untuk bilangan heksadesimal:
① Berapakah 52716 × 7416       527         74 ×       149C     2411   +     255AC ∴ 52716 × 7416 = 255AC16	② Berapakah 1A516 × 2F16     1A5       2F ×   18AB   34A    +   4D4B ∴ 1A516 × 2F16 = 4D4B16

Operasi Pembagian

1. Pembagian sistem bilangan biner

Untuk pembagian bilangan biner tak ubahnya seperti pada pola pembagian bilangan desimal. Lebih jelasnya dapat dilihat caranya seperti beberapa contoh berikut ini:
Contoh:

① Berapakah 1100011₂ ÷ 1011₂
1011√1100011 = 1001
          1011 –
                10
                  0 –
                101
                    0 –
                1011
                1011 –
                      0

∴ 1100011₂ ÷ 1011₂ = 1001₂
② Berapakah 1101110₂ ÷ 10110₂
10110√1101110 = 101
            10110 –
                1011
                      0 –
                10110
                10110 –
                        0

∴ 1101110₂ ÷ 10110₂ = 101₂

2. Pembagian sistem bilangan oktal dan heksadesimal

Untuk pembagian bilangan oktal dan heksadesimal, lebih jelasnya dapat diperhatikan caranya seperti beberapa contoh berikut ini.
Contoh untuk bilangan oktal:

① Berapakah 374₈ ÷ 25₈
25√374 = 14
      25 –
      124
      124 –
          0

∴ 374₈ ÷ 25₈ = 14₈

② Berapakah 115436₈ ÷ 642₈
642√115436 = 137
          642 –
          3123
          2346 –
            5556
            5556 –
                  0

∴ 115436₈ ÷ 642₈ = 137₈
Contoh untuk bilangan heksadesimal:
① Berapakah 1E3₁₆ ÷ 15₁₆
15√1E3 = 17
      15 –
        93
        93 –
          0

∴ 31E3₁₆ ÷ 15₁₆ = 17₁₆

② Berapakah 255AC₁₆ ÷ 527₁₆
527√255AC = 74
        2411 –
          149C
          149C –
                0

∴ 225AC₁₆ ÷ 527₁₆ = 74₁₆

Konversi Bilangan

1. Biner adalah bilangan berbasis dua yang terdiri dari 0 dan 1,
2. Octal adalah bilangan berbasis delapan yang terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7
3. Decimal adalah bilangan berbasis sepuluh yang terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9
4. Hexadecimal adalah bilangan berbasis enam belas yang terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F

Tabel di bawah adalah contoh konversi bilangan Decimal, Biner, Octal, dan Hexadecimal sampai dengan 16 (dalam Decimal). Untuk mengetahui sebuah bilangan dalam basis bilangan yang berbeda dapat dilakukan konversi antar bilangan tersebut. Jika konversi hanya sampai 16 (dalam Decimal) dapat menggunakan tabel di bawah. 

KONVERSI ANTAR BILANGAN

A. BILANGAN DECIMAL

1. Konversi Bilangan Decimal ke Biner
   Contoh 254 (10) = .......(2)
   Caranya dengan membagi bilangan tersebut dengan dua sampai bilangan tersebut tidak bisa lagi dibagi dua (kurang dari dua) dengan mencatat setiap sisa pembagian.
   254 : 2 = 127 sisa 0
   127 : 2 =   63 sisa 1
     63 : 2 =   31 sisa 1
     31 : 2 =   15 sisa 1
     15 : 2 =     7 sisa 1
       7 : 2 =     3 sisa 1
       3 : 2 =     1 sisa 1
       1 : 2 =        sisa 1
   Jadi  254 (10) = 11111110 (2) diurutkan dari sisa pembagian terakhir sebagai MSB (Most Significant Bit)
2. Konversi Bilangan Decimal ke Octal
   Contoh 254 (10) = .......(8)
   Caranya dengan membagi bilangan tersebut dengan delapan sampai bilangan tersebut
   tidak bisa lagi dibagi delapan (kurang dari delapan) dengan mencatat setiap sisa pembagian.
   254 : 8 = 31 sisa 6
     31 : 8 =  3  sisa 7
       3 : 8 =      sisa 3
   Jadi  254 (10) = 376 (8) diurutkan dari sisa pembagian terakhir sebagai MSB (Most Significant Bit)
3. Konversi Bilangan Decimal ke Hexadecimal
   Contoh 254 (10) = .......(16)
   Caranya dengan membagi bilangan tersebut dengan enam belas sampai bilangan tersebut tidak bisa lagi dibagi enam belas (kurang dari enam belas) dengan mencatat setiap sisa pembagian.
   254 : 16 = 15 sisa 14 atau E (lihat tabel di atas)
     15 : 16 =      sisa 15 atau F (lihat tabel di atas)
   Jadi  254 (10) = FE (16) diurutkan dari sisa pembagian terakhir sebagai MSB (Most Significant Bit)

B. BILANGAN BINER

1. Konversi Bilangan Biner ke Decimal
   Contoh 1100100 (2) = .......(10)
   Dengan cara mengalikan bilangan-bilangan tersebut dengan dua yang telah dipangkatkan sesuai urutan 0,1,2,4, dan seterusnya kemudian menjumlahkannya.
   0 x 2⁰ = 0
   0 x 2¹ = 0
   1 x 2² = 4
   0 x 2³ = 0
   0 x 2⁴ = 0
   1 x 2⁵ = 32
   1 x 2⁶ = 64
   0+0+4+0+0+32+64 = 100
   Jadi 1100100 (2) = 100 (10)
2. Konversi Bilangan Biner ke Octal
   Contoh 1100100 (2) = .......(8)
   Dengan cara memisahkan bilangan tersebut menjadi beberapa bagian dimulai dari bilangan paling kanan (LSB). Setiap bagian terdiri dari tiga angka (digit), kemudian lihat tabel di atas. Jika bagian terakhir (paling kiri) kurang dari tiga digit, dapat menambahkan bilangan 0.
   1100100 dipisahkan menjasi tiga bagian menjadi 1-100-100 atau 001-100-100
   100 (2) = 4 (8)
   100 (2) = 4 (8)
   001 (2) = 1 (8)
   Jadi  1100100 (2) = 144 (8)
3. Konversi Bilangan Biner ke Hexadecimal
   Contoh 1100100 (2) = .......(16)
   Dengan cara memisahkan bilangan tersebut menjadi beberapa bagian dimulai dari bilangan paling kanan (LSB). Setiap bagian terdiri dari empat angka (digit), kemudian lihat tabel di atas. Jika bagian terakhir (paling kiri) kurang dari empat digit, dapat menambahkan bilangan 0.
   1100100 dibagi empat bagian menjadi 110-0100 atau 0110-0100
   0100 (2) = 4 (16)
   0110 (2) = 6 (16)
   Jadi 1100100 (2) = 64 (16)

C. BILANGAN OCTAL

1. Konversi Bilangan Octal ke Decimal
   Contoh 200 (8) = ...... (10)
   Dengan cara mengalikan bilangan-bilangan tersebut dengan delapan yang telah dipangkatkan sesuai urutan 0,1,2,4, dan seterusnya kemudian menjumlahkannya.
   0 x 80 = 0
   0 x 81 = 0
   2 x 82 = 128
   0+0+128 = 128
   Jadi 200 (8) = 128 (10)
2. Konversi Bilangan Octal ke Biner
   Contoh 200 (8) = ...... (2)
   Dengan cara melihat tabel di atas kemudian tulis dalam tiga digit, setelah itu diurutkan (disatukan).
   0 (8) = 000 (2)
   0 (8) = 000 (2)
   2 (8) = 010 (2)
   Jadi 200 (8) = 010000000 (2)
3. Konversi Bilangan Octal ke Hexadecimal
   Contoh 200 (8) = ...... (16)
   Lakukan konversi ke Decimal atau ke Biner terlebih dahulu kemudian konversi lagi ke Hexadecimal. Jika konversi dilakukan ke bilangan Biner, maka hasil konversi dipisahkan menjadi beberapa bagian dimana setiap bagian terdiri dari empat digit dimulai dari sebelah kanan (LSB) kemudian dikonversi ke Hexadecimal dengan melihat tabel di atas.
   200 (8) = 010000000 (2)
   010000000 menjadi 0-1000-0000 atau 0000-1000-0000
   0000 (2) = 0 (16)
   1000 (2) = 8 (16)
   0000 (2) = 0 (16)
   Jadi  200 (8) = 080 (16)

D. BILANGAN HEXADECIMAL

1. Konversi Bilangan Hexadecimal ke Biner
   Contoh FA (16) = ..... (2)
   Caranya dengan menggunakan tabel di atas.
   A (16) = 1010 (2)
   F (16) = 1111 (2)
   Jadi  FA (16) = 11111010 (2)
2. Konversi Bilangan Hexadecimal ke Octal
   Contoh FA (16) = ..... (8)
   Caranya dengan mengkonversi bilangan tersebut ke Biner  terlebih dahulu kemudian gunakan cara konversi bilangan Biner ke Octal.
   FA (16) = 11111010 (2)
   11111010 menjadi 11-111-010 atau  011-111-010
   010 (2) = 2 (8)
   111 (2) = 7 (8)
   011 (2) = 3 (8)
   Jadi  FA (16) = 372 (8)
3. Konversi Bilangan Hexadecimal ke Decimal
   Contoh FA (16) = ..... (10)
   Dengan cara mengalikan bilangan-bilangan tersebut dengan enam belas yang telah dipangkatkan sesuai urutan 0,1,2,4, dan seterusnya kemudian menjumlahkannya.
   A x 16⁰ atau 10 x  16⁰ = 10
   F x 16¹ atau 15 x  16¹ = 240
   10+240 = 250
   Jadi  FA (16) = 250 (10)

SYSTEM DIGITAL

Pengertian Digital

Digital merupakan hasil teknologi yang mengubah sinyal menjadi kombinasi urutan bilangan 0 dan 1 (disebut juga dengan biner)untuk proses informasi yang mudah, cepat dan akurat.Sinyal tersebut juga sebuah bit.

Digital disebut juga hasil teknologi:technology yang mengubah sinyal:signal menjadi kombinasi.
Sinyal digital ini memiliki berbagai keistimewaan yang unik yang tidak dapat ditemukan pada teknologi analog, yaitu:

1. Mampu mengirimkan informasi dengan kecepatan cahaya yang dapat membuat informasi dapat dikirim dengan kecepatan tinggi.
2. Penggunaan yang berulang-ulang terhadap informasi tidak mempengaruhi kualitas dan kuantitas informasi itu sendiri,
3. Informasi dapat dengan mudah doiproses dan dimodifikasi ke dalam berbagai bentuk,
4. Dapat memproses informasi dalam jumlah yang sangat besar dan mengirimnya secara interaktif.

Komputer mengolah data yang ada adalah secara digital, melalui sinyal listrik yang diterimanya atau dikirimkannya. Pada prinsipnya, komputer hanya mengenal dua arus, yaitu atau off, atau istilah dalam angkanya sering juga dikenal dengan 1 (satu) atau 0 (nol). Kombinasi dari arus on atau off inilah yang yang mampu membuat komputer melakukan banyak hal, baik dalam mengenalkan huruf, gambar, suara, bahkan film-film menarik yang anda tonton dalam format digital.

Pengertian System

System adalah Suatu jaringan kerja dari prosedur-prosedur yang saling berhubungan, berkumpul bersama-sama untuk melakukan suatu kegiatan atau untuk menyelesaikan suatu sasaran tertentu. Esensinya sistem terdiri dari:

1. komponen-komponen dalam sistem tersebut, mencakup perangkat keras / hardware, perangkat lunak / software, prosedur – prosedur / procedure, perangkat manusia / braiware, dan informasi / information itu sendiri.
2. serta fungsi-fungsi teknologi di dalamnya yaitu:
   input,
   - proses/procces,
   - output,
   - penyimpanan/storage dan
   - komunikasi/communication.
   Jadi System Digital dapat disebut juga Suatu jaringan kerja dari prosedur-prosedur yang saling berhubungan yang dapat mengubah sinyal menjadi kombinasi urutan bilangan 0 dan 1 (disebut juga dengan biner)untuk proses informasi yang mudah, cepat dan akurat.
   Kelebihan dan kekukarangan sistem digital
   Kelebihan sistem digital :

• sistemdigital lebih mudah direka bentuk .
• Penyimpanan data boleh dibuat lebih mudah.
• Data yang dihasilkan lebih jitu dan akurat.
• operasi boleh diprogram
• kurang dipengaruhi oleh hingar.

Kekurangan sistem digital :

• Tidak menggambarkan keadaan yang sebenarnya karna hampir semua kuantiti dalam bentuk analog.
• Memerlukan satu dan kedua-keduanya penukar untuk memproses isyarat dalam bentuk analog dan digital.Hal ini akan merumitkan reka bentuk dari sistem.

Aplikasi Sistem Digital

• Computing.
• komunikasi.
• Instrumentasi.
• Kawalan automasi.